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Selbstorganisiert kritische Systeme
Für eine unterhaltsame Übersicht sei auf Per Bak's Buch
[1] verwiesen.
Im folgenden werden 3 Modelle aufgeführt.
Waldbrand-Modell
In seiner ursprünglichen Version aus [2]
hat dieses Modell als Zustände leere Plätze,
Bäume und Feuer.
Bäume wachsen in einem Zeitschritt an einem Platz mit
Wahrscheinlichkeit p, durch Blitzschlag wird aus einem
Baum mit Wahrscheinlichkeit f ein Feuer, das sich dann in einem
Zeitschritt zu benachbarten Bäumen
ausbreitet. Dieses Modell wird von dem Programm xfires aus der
xtoys
Sammlung von
Michael Creutz simuliert.
Dieses ursprüngliche Modell besitzt zwar eine Längenskala,
die mit f -> 0 divergiert, allerdings wird es in diesem
Grenzfall auch immer deterministischer (in zwei und kleineren Dimensionen).
Deswegen wurde in [3] eine
Modifikation eingeführt, in der ganze vom Blitz getroffene
Baum-Cluster instantan abbrennen. Feuer können dann als Zustände
aus dem Modell eliminiert werden und man gelangt so zu einem
zwei-Zustands-Modell. Dieses Modell hat tatsächlich
einen kritischen Punkt für p -> 0. Amüsanterweise
wurde dieses modifizierte Modell bereits deutlich früher von
Henley auf einer Konferenz (unter einem anderen Namen) vorgeschlagen
[4].
Ein Programm zur Simulation dieses modifizierten Modells
findet man
hier.
Sandhaufen-Modell
Das Sandhaufen-Modell ist sowohl eins der ersten `selbstorganisiert
kritischen' Modelle wie auch eines Paradigmen des Gebietes. Es wurde
in [5] eingeführt.
Eine geringfügig gegenüber der ursprünglichen
Definition modifizierte Version des Sandhaufen-Modells
(abweichende Sandzufuhr) wird von dem Programm
xsand aus der
xtoys
Sammlung von
Michael Creutz simuliert.
Modell der Evolution
Das Evolutions-Modell wurde in [6] eingeführt
und ist denkbar einfach. Seine dynamischen Regeln lauten:
Zufallszahlen f zwischen Null und Eins seien im Kreis angeordnet.
Ersetze zu jedem Zeitschritt die kleinste Zahl f(x)
sowie deren beide Nachbarn f(x+1) und f(x-1)
durch neue Zufallszahlen 0 <= f <=1.
Eine Momentaufnahme des stationären Zustandes in einer Simulation
dieses Modells sieht wie folgt aus (das Bild stammt aus
[7]):
Eine Lawine dauert in diesem Modell
so lange, bis das kleinste f mindestens wieder das
Minimum von f zu Beginn der Lawine annimmt.
Anregung:
Simulieren Sie das Evolutions-Modell und untersuchen Sie seine
Eigenschaften! Beispiel einer Frage: Welchen minimalen Wert
von f erhält man für große Zeiten ?
Ein Java-Applett von Christian Stellmach, das das
Evolutions-Modell implementiert, findet man
hier.
Literatur:
-
P. Bak, How Nature Works, Copernicus Springer-Verlag, New York
(1996)
-
P. Bak, K. Chen, C. Tang, A Forest-Fire Model and Some Thoughts on
Turbulence, Phys. Lett. A147 (1990) 297-300
-
B. Drossel, F. Schwabl, Self-Organized Critical Forest-Fire Model,
Phys. Rev. Lett.
69 (1992) 1629-1632
-
C.L. Henley, Self-Organized Percolation: A Simpler Model,
Bull. Am. Phys. Soc. 34 (1989) 838
-
P. Bak, C. Tang, K. Wiesenfeld, Self-Organized Criticality: An Explanation
of 1/f Noise,
Phys. Rev. Lett.
59 (1987) 381-384;
Self-Organized Criticality,
Phys. Rev. A38
(1988) 364-374
-
P. Bak, K. Sneppen, Punctuated Equilibrium and Criticality in a Simple
Model of Evolution,
Phys. Rev. Lett.
71 (1993) 4083-4086
-
M. Paczuski, S. Maslov, P. Bak, Avalanche Dynamics in Evolution, Growth,
and Depinning Models,
Phys. Rev. E53
(1996) 414-443,
preprint adap-org/9510002
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