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Selbstorganisiert kritische Systeme
Für eine unterhaltsame Übersicht sei auf Per Bak's Buch
[1] verwiesen.
Im folgenden werden 3 Modelle aufgeführt.
Waldbrand-Modell
![](./fires.gif)
In seiner ursprünglichen Version aus [2]
hat dieses Modell als Zustände leere Plätze,
Bäume und Feuer.
Bäume wachsen in einem Zeitschritt an einem Platz mit
Wahrscheinlichkeit p, durch Blitzschlag wird aus einem
Baum mit Wahrscheinlichkeit f ein Feuer, das sich dann in einem
Zeitschritt zu benachbarten Bäumen
ausbreitet. Dieses Modell wird von dem Programm xfires aus der
xtoys
Sammlung von
Michael Creutz simuliert.
![](./forest.gif)
Dieses ursprüngliche Modell besitzt zwar eine Längenskala,
die mit f -> 0 divergiert, allerdings wird es in diesem
Grenzfall auch immer deterministischer (in zwei und kleineren Dimensionen).
Deswegen wurde in [3] eine
Modifikation eingeführt, in der ganze vom Blitz getroffene
Baum-Cluster instantan abbrennen. Feuer können dann als Zustände
aus dem Modell eliminiert werden und man gelangt so zu einem
zwei-Zustands-Modell. Dieses Modell hat tatsächlich
einen kritischen Punkt für p -> 0. Amüsanterweise
wurde dieses modifizierte Modell bereits deutlich früher von
Henley auf einer Konferenz (unter einem anderen Namen) vorgeschlagen
[4].
Ein Programm zur Simulation dieses modifizierten Modells
findet man
hier.
Sandhaufen-Modell
![](./sand.gif)
Das Sandhaufen-Modell ist sowohl eins der ersten `selbstorganisiert
kritischen' Modelle wie auch eines Paradigmen des Gebietes. Es wurde
in [5] eingeführt.
Eine geringfügig gegenüber der ursprünglichen
Definition modifizierte Version des Sandhaufen-Modells
(abweichende Sandzufuhr) wird von dem Programm
xsand aus der
xtoys
Sammlung von
Michael Creutz simuliert.
Modell der Evolution
Das Evolutions-Modell wurde in [6] eingeführt
und ist denkbar einfach. Seine dynamischen Regeln lauten:
Zufallszahlen f zwischen Null und Eins seien im Kreis angeordnet.
Ersetze zu jedem Zeitschritt die kleinste Zahl f(x)
sowie deren beide Nachbarn f(x+1) und f(x-1)
durch neue Zufallszahlen 0 <= f <=1.
Eine Momentaufnahme des stationären Zustandes in einer Simulation
dieses Modells sieht wie folgt aus (das Bild stammt aus
[7]):
![](./evolution.gif)
Eine Lawine dauert in diesem Modell
so lange, bis das kleinste f mindestens wieder das
Minimum von f zu Beginn der Lawine annimmt.
Anregung:
Simulieren Sie das Evolutions-Modell und untersuchen Sie seine
Eigenschaften! Beispiel einer Frage: Welchen minimalen Wert
von f erhält man für große Zeiten ?
Ein Java-Applett von Christian Stellmach, das das
Evolutions-Modell implementiert, findet man
hier.
Literatur:
-
P. Bak, How Nature Works, Copernicus Springer-Verlag, New York
(1996)
-
P. Bak, K. Chen, C. Tang, A Forest-Fire Model and Some Thoughts on
Turbulence, Phys. Lett. A147 (1990) 297-300
-
B. Drossel, F. Schwabl, Self-Organized Critical Forest-Fire Model,
Phys. Rev. Lett.
69 (1992) 1629-1632
-
C.L. Henley, Self-Organized Percolation: A Simpler Model,
Bull. Am. Phys. Soc. 34 (1989) 838
-
P. Bak, C. Tang, K. Wiesenfeld, Self-Organized Criticality: An Explanation
of 1/f Noise,
Phys. Rev. Lett.
59 (1987) 381-384;
Self-Organized Criticality,
Phys. Rev. A38
(1988) 364-374
-
P. Bak, K. Sneppen, Punctuated Equilibrium and Criticality in a Simple
Model of Evolution,
Phys. Rev. Lett.
71 (1993) 4083-4086
-
M. Paczuski, S. Maslov, P. Bak, Avalanche Dynamics in Evolution, Growth,
and Depinning Models,
Phys. Rev. E53
(1996) 414-443,
preprint adap-org/9510002
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