Technische Universität Carolo-Wilhelmina zu Braunschweig

Institut für Theoretische Physik

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Letzte Aktualisierung: 04. Juli 2000 a.honecker@tu-bs.de

Heisenberg-, Hubbard- und t-J-Modell

Folgende Hamilton-Operatoren definieren bekannte quantenmechanische Vielteilchen-Modelle:

Heisenberg-Modell:

$\begin{displaymath}H = J \sum_{x=1}^L \vec{S}_x \cdot \vec{S}_{x+1} = J \sum_{x... ... 2}} \left(S^+_x S^-_{x+1} + S^-_x S^+_{x+1} \right) \right\} \end{displaymath}$

mit J: Kopplungskonstante und L: Kettenlänge.
Hubbard-Modell:

$\begin{displaymath}H = -t \sum_x \sum_{\sigma=\uparrow,\downarrow} \left\{ c^\d... ...,\sigma} \right \} + U \sum_x n_{x,\uparrow} n_{x,\downarrow} \end{displaymath}$

mit $n_{x,\sigma} = c^\dagger_{x,\sigma} c_{x,\sigma}$ , $[c_{x,\sigma},c_{x',\sigma'}]_+ = [c^\dagger_{x,\sigma},c^\dagger_{x',\sigma'}]_+ = 0$ , $[c^\dagger_{x,\sigma},c_{x',\sigma'}]_+ = \delta_{x,x'} \delta_{\sigma,\sigma'}$ .
t-J-Modell:

$\begin{displaymath}H = -t P \sum_x \sum_{\sigma=\uparrow,\downarrow} \left\{ c^... ... \right \} P + J \sum_{x} \vec{S}_x \cdot \vec{S}_{x+1} \, , \end{displaymath}$

wobei P doppelt besetzte Plätze herausprojeziert.
Bemerkungen:
- Bei halber Füllung ( $n_x = n_{x,\uparrow} + n_{x,\downarrow} = 1$ ) reduziert sich das t-J-Modell auf das Heisenberg-Modell.
- Das Hubbard-Modell mit $U \gg t$ ist äquivalent zum t-J-Modell. In zweiter Ordnung Störungstheorie findet man folgende Beziehung:
  
  $\begin{displaymath}J = {4 t^2 \over U} \, .\end{displaymath}$

Die obigen quantenmechanischen Probleme können für endliche Systeme mit folgenden Verfahren numerisch studiert werden:

Lanczos Algorithmus.
Dichte-Matrix-Renormierungs-Gruppe.
Für das antiferromagnetische Heisenberg-Modell auf bipartiten Gittern kann auch der Loop-Algorithmus (Quanten-Monte-Carlo) verwendet werden.
Schließich können gewisse (z.B. dimerisierte) Varianten dieser Modelle auch mit Reihenentwicklungen behandelt werden.