Technische Universität Carolo-Wilhelmina zu Braunschweig

Institut für Theoretische Physik

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Letzte Aktualisierung: 04. Juli 2000 a.honecker@tu-bs.de

Dichte-Matrix-Renormierungs-Gruppe

Die Dichte-Matrix-Renormierungs-Gruppe (DMRG) erlaubt die Diagonalisierung von großen, eindimensionalen Quanten-Spin-Systemen.

Die DMRG wurde von S.R. White 1992 eingeführt [1,2]. Die Originalarbeiten [1,2] sind nach wie vor gute Referenzen. Außerdem gibt es inzwischen das Buch [3], das eine Sammlung von einführenden und fortgeschrittenen Artikeln enthält.

Weiteres Material aus dem Umfeld der DMRG kann man auf Steven White's Home Page finden.

Algorithmen

Der Hilbertraum wird in `System' und `Umgebung' unterteilt:

$\begin{displaymath}{\cal H} = {\cal H}_S \otimes {\cal H}_U \, .\end{displaymath}$

Sei $\mid \psi \rangle$ ein Zustand aus dem `Superblock' ${\cal H}$ , $\mid j \rangle$ eine Basis der Umgebung. Dann wird die reduzierte Dichtematrix des Systems eingeführt durch

$\begin{displaymath}\rho^S = \sum_j \langle j \mid \psi \rangle \langle \psi \mid j \rangle \, .\end{displaymath}$

Diese reduzierte Dichtematrix spielt als Trunkierungskriterium die zentrale Rolle im DMRG-Verfahren.

Verfahren für unendliches System

Bilde einen Superblock mit L Plätzen, der noch klein genug ist um eine exakte Diagonalisierung zuzulassen.
Diagonalisiere den Hamilton-Operator $H_L^{\rm super}$ des Superblocks numerisch, so daß nur der Grundzustand $\mid \psi \rangle$ (oder ein anderer ausgewählter Eigenzustand) sowie der zugehörige Eigenwert bestimmt werden. Hier kommt ein iterativer Algorithmus wie z.B. der Davidson- oder Lanczos-Algorithmus zum Einsatz.
Teile den Superblock in l+1 System-Plätze und l'+1 Umgebungsplätze mit l=l'=L/2-1 auf. Bestimme nun die reduzierte Dichtematrix $\rho^S$ aus $\mid \psi \rangle$ .
Diagonalisiere $\rho^S$ vollständig mit einer Routine zur Diagonalisierung dicht besetzter Matrizen. Die Eigenvektoren für die m größten Eigenwerte müssen gespeichert werden.
Konstruiere alle wichtigen Operatoren A_l+1 (einschließlich des Hamilton-Operators H_l+1) für ein System mit l+1 Plätzen. Transformiere sie in die Basis der reduzierten Dichte-Matrix und trunkiere sie nach folgender Vorschrift:

$\begin{displaymath}\bar{H}_{L+1} = O_L^\dagger H_{l+1} O_L \, , \quad \bar{A}_{L+1} = O_L^\dagger A_{l+1} O_L \, ,\end{displaymath}$

wobei die Spalten von O_L die m größten Eigenvektoren von $\rho^S$ sind.
Bilde unter Verwendung von $\bar{H}_{L+1}$ , dessen Reflektion und zwei einzelnen Plätzen einen Superblock der Größe L+2.
Ersetze durch und fahre mit Schritt 2 fort.
Verfahren für endliches System
1. Führe das Verfahren für ein unendliches System durch, bis der Superblock die gewünschte Größe L erreicht hat. Speichere dabei alle $\bar{H}_l$ und andere Operatoren, die evtl. in den einzelnen Schritten benötigt werden.
2. Führe Schritte 2-5 des Verfahrens für ein unendliches System aus um $\bar{H}_{l+1}$ zu erhalten und speichere das Ergebnis. (Achtung: Nun ist $l \ne l'$ ).
3. Bilde aus $\bar{H}_{l+1}$ , der Reflektion von $\bar{H}_{l'-1}$ und zwei einzelnen Plätzen einen Superblock der Größe L.
4. Wiederhole Schritte 2-3 bis l=L-3 (d.h. l' = 1). (Sweep von links nach rechts).
5. Führe Schritte 2-5 des Verfahrens für ein unendliches System aus um $\bar{H}_{l'+1}$ zu erhalten und speichere das Ergebnis. (Achtung: Die Rollen von rechts und links sind nun vertauscht).
6. Bilde aus $\bar{H}_{l-1}$ , der Reflektion von $\bar{H}_{l'+1}$ und zwei einzelnen Plätzen einen Superblock der Größe L.
7. Wiederhole Schritte 5-6 bis l=1. (Sweep von rechts nach links).
8. Wiederhole ab Schritt 2.
Für Detailfragen, die für eine erfolgreiche Implementation des Algorithmus von Bedeutung sind, sei auf die Literatur verwiesen [1,2,3].
Anwendungsbeispiel: S=2 Heisenberg-Kette
Die S=2 Heisenberg-Kette hat 5 Zustände pro Platz. Von Quanten-Monte-Carlo-Simulationen ist bekannt, daß sie eine große, aber endliche Korrelationslänge mit besitzt (siehe z.B. [4]). Die zugehörige Lücke kann also z.B. mit dem Lanczos-Verfahren nicht mit hinreichender Genauigkeit bestimmt werden.
Kürzlich wurde z.B. in [5] eine DMRG-Rechnung für Kettenlängen $L \le 1200$ und bis zu $m \le 400$ Zuständen im System-Block durchgeführt. Die Lücke wurde damit auf

$\begin{displaymath}\Delta = (0.0876\pm0.0013)J\end{displaymath}$

geschätzt.
Literatur
1. S.R. White, Density Matrix Formulation for Quantum Renormalization Group, Phys. Rev. Lett. 69 (1992) 2863-2866
2. S.R. White, Density-Matrix Algorithms for Quantum Renormalization Groups, Phys. Rev. B48 (1993) 10345-10356
3. I. Peschel, X. Wang, M. Kaulke, K. Hallberg (eds.), Density-Matrix Renormalization, Lecture Notes in Physics 528, Springer Berlin (1999)
4. Y.J. Kim, M. Greven, U.-J. Wiese, R.J. Birgeneau, Monte-Carlo Study of Correlations in Quantum Spin Chains at Non-Zero Temperature, Eur. Phys. J. B4 (1998) 291-297, preprint cond-mat/9712257
5. Xiaoqun Wang, Shaojing Qin, Lu Yu, Haldane Gap for the S=2 Antiferromagnetic Heisenberg Chain Revisited, Phys. Rev. B60 (1999) 14529-14532, preprint cond-mat/9903035