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Dichte-Matrix-Renormierungs-Gruppe
Die Dichte-Matrix-Renormierungs-Gruppe (DMRG) erlaubt die Diagonalisierung
von großen, eindimensionalen
Quanten-Spin-Systemen.
Die DMRG wurde von S.R. White 1992 eingeführt
[1,2]. Die Originalarbeiten
[1,2] sind nach wie vor gute
Referenzen. Außerdem gibt es inzwischen das Buch [3],
das eine Sammlung von einführenden und fortgeschrittenen Artikeln
enthält.
Weiteres Material aus dem Umfeld der DMRG kann man auf
Steven White's Home Page
finden.
Algorithmen
Der Hilbertraum wird in `System' und
`Umgebung' unterteilt:
Sei
ein Zustand aus dem `Superblock'
,
eine Basis der Umgebung. Dann wird die reduzierte
Dichtematrix des Systems eingeführt durch
Diese reduzierte Dichtematrix spielt als Trunkierungskriterium
die zentrale Rolle im DMRG-Verfahren.
Verfahren für unendliches System
- Bilde einen Superblock mit L Plätzen, der noch klein genug ist
um eine exakte Diagonalisierung zuzulassen.
- Diagonalisiere den Hamilton-Operator
des
Superblocks numerisch, so daß nur der Grundzustand
(oder ein anderer ausgewählter Eigenzustand)
sowie der zugehörige Eigenwert bestimmt werden. Hier kommt ein
iterativer Algorithmus wie z.B. der Davidson- oder
Lanczos-Algorithmus zum Einsatz.
- Teile den Superblock in l+1 System-Plätze und l'+1
Umgebungsplätze mit
l=l'=L/2-1 auf. Bestimme nun die reduzierte Dichtematrix
aus
.
- Diagonalisiere
vollständig mit einer Routine
zur Diagonalisierung dicht besetzter Matrizen. Die Eigenvektoren
für die m größten Eigenwerte müssen gespeichert werden.
- Konstruiere alle wichtigen Operatoren Al+1 (einschließlich des
Hamilton-Operators Hl+1) für ein System mit l+1 Plätzen.
Transformiere sie in die Basis der reduzierten Dichte-Matrix und
trunkiere sie nach folgender Vorschrift:
wobei die Spalten von OL die m
größten Eigenvektoren von
sind.
- Bilde unter Verwendung von
,
dessen Reflektion und zwei einzelnen Plätzen einen Superblock der
Größe L+2.
- Ersetze
durch
und fahre mit Schritt 2 fort.
Verfahren für endliches System
- Führe das Verfahren für ein unendliches System durch, bis
der Superblock die gewünschte Größe L erreicht hat.
Speichere dabei alle
und andere Operatoren, die evtl. in den einzelnen
Schritten benötigt werden.
- Führe Schritte 2-5 des Verfahrens für ein unendliches System
aus um
zu erhalten und speichere das Ergebnis. (Achtung: Nun ist
).
- Bilde aus
,
der Reflektion von
und zwei einzelnen Plätzen einen Superblock der Größe L.
- Wiederhole Schritte 2-3 bis l=L-3 (d.h. l' = 1).
(Sweep von links nach rechts).
- Führe Schritte 2-5 des Verfahrens für ein unendliches System
aus um
zu erhalten und speichere das Ergebnis. (Achtung:
Die Rollen von rechts und links sind nun vertauscht).
- Bilde aus
,
der Reflektion von
und zwei einzelnen Plätzen einen Superblock der Größe L.
- Wiederhole Schritte 5-6 bis l=1. (Sweep von rechts nach
links).
- Wiederhole ab Schritt 2.
Für Detailfragen, die für eine erfolgreiche Implementation des
Algorithmus von Bedeutung sind, sei auf die Literatur verwiesen
[1,2,3].
Anwendungsbeispiel: S=2 Heisenberg-Kette
Die S=2
Heisenberg-Kette hat 5 Zustände pro Platz.
Von Quanten-Monte-Carlo-Simulationen ist bekannt,
daß sie eine große, aber endliche Korrelationslänge mit
besitzt (siehe z.B. [4]). Die zugehörige Lücke
kann also z.B. mit dem Lanczos-Verfahren
nicht mit hinreichender Genauigkeit bestimmt werden.
Kürzlich wurde z.B. in [5] eine DMRG-Rechnung für
Kettenlängen
und bis zu
Zuständen im System-Block
durchgeführt. Die Lücke wurde damit auf
geschätzt.
Literatur
-
S.R. White, Density Matrix Formulation for Quantum Renormalization Group,
Phys. Rev. Lett.
69 (1992) 2863-2866
-
S.R. White, Density-Matrix Algorithms for Quantum Renormalization Groups,
Phys. Rev. B48
(1993) 10345-10356
-
I. Peschel, X. Wang, M. Kaulke, K. Hallberg (eds.),
Density-Matrix Renormalization, Lecture Notes in Physics 528,
Springer Berlin (1999)
-
Y.J. Kim, M. Greven, U.-J. Wiese, R.J. Birgeneau, Monte-Carlo Study of
Correlations in Quantum Spin Chains at Non-Zero Temperature,
Eur.
Phys. J. B4 (1998) 291-297,
preprint cond-mat/9712257
-
Xiaoqun Wang, Shaojing Qin, Lu Yu, Haldane Gap for the S=2 Antiferromagnetic
Heisenberg Chain Revisited,
Phys.
Rev. B60 (1999) 14529-14532,
preprint cond-mat/9903035
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