Technische Universität Carolo-Wilhelmina zu Braunschweig

Institut für Theoretische Physik

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Letzte Aktualisierung: 23. Juni 2003 a.honecker@tu-bs.de

Hubbard-Modell

Zweitquantisierte Elektron-Operatoren $c_{x,\sigma}^{(\dagger)}$ mit Spin-1/2 ( $\sigma=\uparrow,\downarrow$ ) erfüllen die folgenden Antikommutatoren:

$\{c_{x,\sigma},c_{y,\sigma'}\}$	=	0
$\{c_{x,\sigma}^\dagger,c_{y,\sigma'}^\dagger\}$	=	0
$\{c_{x,\sigma}^\dagger,c_{y,\sigma'}\}$	=	$\delta_{x,y} \delta_{\sigma,\sigma'}$

Damit ist der Hamilton-Operator einer eindimensionalen Hubbard-Kette

H	=	$-t \sum_{x=1}^L \sum_{\sigma=\uparrow,\downarrow} (c_{x,\sigma}^\dagger c_{x+1,\sigma} + c_{x+1,\sigma}^\dagger c_{x,\sigma})$
		$+ U \sum_{x=1}^L c_{x,\uparrow}^\dagger c_{x,\uparrow} c_{x,\downarrow}^\dagger c_{x,\downarrow}$

Grundzustandsenergie pro Platz der 1D Hubbard-Kette bei halber Füllung

Ladungslücke der 1D Hubbard-Kette bei halber Füllung

Übungsaufgabe (16. Juni 2003):

Sei

$\begin{displaymath}S_x^\alpha = {\textstyle {1 \over 2}} \sum_{r,s=\uparrow,\downarrow} c_{x,r}^\dagger \sigma_{r,s}^\alpha c_{x,s}\end{displaymath}$

mit den Pauli-Matrizen $\sigma^\alpha$ .

Zeigen Sie:

1.: $\[ S_x^\alpha, S_x^\beta] = \sum_\gamma \epsilon^{\alpha,\beta}_{\gamma} S_x^\gamma$ (verwenden Sie $[ \sigma^\alpha, \sigma^\beta\right] = \sum_\gamma 2 \epsilon^{\alpha,\beta}_{\gamma} \sigma^\gamma$ ).
2.: $[ S_x^\alpha + S_y^\alpha, c_{x,\sigma}^\dagger c_{y,\sigma} ] = 0$ .
3.: $[S_x^\alpha, c_{x,\uparrow}^\dagger c_{x,\uparrow} c_{x,\downarrow}^\dagger c_{x,\downarrow} ] = 0$ .

Bemerkung:
Hiermit haben Sie gezeigt, daß das Hubbard-Modell eine globale SU(2)-Symmetrie besitzt.

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