Technische Universität Carolo-Wilhelmina zu Braunschweig

Institut für Theoretische Physik

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Letzte Aktualisierung: 1. Juli 2003 a.honecker@tu-bs.de

Heisenberg-Modell

Bei halber Füllung (n_x = 1) reduziert sich das t-J-Modell auf das Heisenberg-Modell

$H = J \sum_{x=1}^L \vec{S}_x \cdot \vec{S}_{x+1} = J \sum_{x=1}^L \{ S_x^z S_{x+1}^z + {1 \over 2} (S^+_x S^-_{x+1} + S^-_x S^+_{x+1} ) \} .$

wobei die Äquivalenz der beiden Ausdrücke aus $S_x^x = {1\over 2} (S_x^+ + S_x^-)$ und $S_x^y = -{i\over 2} (S_x^+ - S_x^-)$ folgt.

Hier ist J die Kopplungskonstante und L in einer Dimension die Kettenlänge bzw. allgemein die Anzahl der Plätze.

Beim Heisenberg-Modell kann man allgemein Spins der Länge S zulassen. Für S=1/2 sind an jedem Platz x nur zwei Einstellungen ( $\uparrow$ bzw. $\downarrow$ ) möglich. Man kann also als Basis $| \uparrow\uparrow...\uparrow\uparrow >$ , $| \uparrow...\uparrow\downarrow >$ , $| \uparrow...\downarrow\uparrow >$ , ... wählen. Dann ist eine Darstellung der Spin-1/2 Operatoren

$S_x^z \| ... \mathop\uparrow_x ... >$	=	${1 \over 2} \| ... \mathop\uparrow_x ... >$
$S_x^z \| ... \mathop\downarrow_x ... >$	=	$-{1 \over 2} \| ... \mathop\downarrow_x ... >$
$S_x^+ \| ... \mathop\uparrow_x ... >$	=	$0 S_x^+ \| ... \mathop\downarrow_x ... > = \| ... \mathop\uparrow_x ... >$
$S_x^- \| ... \mathop\uparrow_x ... >$	=	$\| ... \mathop\downarrow_x ... > S_x^- \| ... \mathop\downarrow_x ... > = 0$

Übungsaufgabe (23. Juni 2003):

Sei ein Singlett auf den Plätzen 1 und 2 gegeben durch $| s_{12} > = {1 \over \sqrt{2}} ( | \uparrow\downarrow > - | \downarrow\uparrow >)$ .
Zeige (für S=1/2)

1.: $\vec{S}_1 \cdot \vec{S_2} | s_{12} > = -{3 \over 4} | s_{12} >$ ,
2.: $(< s_{12} | \otimes < s_{34} | \otimes ...) H (| s_{12} > \otimes | s_{34} > \otimes ...) = -{3 \over 8} L J$ !

Grundzustandsenergie pro Platz der 1D S=1/2 Heisenberg-Kette mit L=4, ..., 30 Plätzen

e₀ = E₀/L

Die exakte Lösung für ein unendlich großes System wurde 1938 von Hulthén per Bethe-Ansatz bestimmt zu (siehe z.B. [1])
e₀ = (1/4 - ln(2)) J = -0.44324718... J

Korrelationsfunktion 1D S=1/2 Heisenberg-Kette mit L=30

$C(\vert i-j\vert) = C(|i-j|) = < 0 | \vec{S}_i \cdot \vec{S}_j | 0 >$

Literatur:

M. Karbach, K. Hu, G. Müller, Introduction to the Bethe Ansatz II, Computers in Physics 12 (1998) 565-573

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