Technische Universität Carolo-Wilhelmina zu Braunschweig

Institut für Theoretische Physik

Home -> People -> A. Honecker -> Teaching -> Quanten-Numerik -> Quanten-Monte-Carlo -> Loop-Algorithmus
Letzte Aktualisierung: 7. Juli 2003 a.honecker@tu-bs.de

Loop-Algorithmus

Eine ausführliche Beschreibung des Loop-Algorithmus findet man in Ref. [1]. Ref. [2] bietet eine kompakte moderne Übersicht. Für eine pädagogische Beschreibung sei ferner auf das Kapitel 7.2.2 der Lecture Notes von Matthias Troyer verwiesen [3] (beachte auch die Folien über den Loop-Algorithmus von Fabien Alet, die sich unter dem gleichen Link finden).

Die Trotter-Suzuki-Zerlegung führt auf eine Schachbrett-artige Darstellung eines d-dimensionalen quantenmechanischen Systems über klassische Konfigurationen in Dimension d+1. Folgendes Bild illustriert dies für M=4:

Übungsaufgabe (7. Juli 2003):

Betrachte freie Fermionen auf einer Kette

$H= -t \sum_x (c_x^\dagger c_{x+1} + c_{x+1}^\dagger c_x ) .$

$W\pmatrix{\cdot & \cdot \cr \cdot & \cdot \cr}$ sei das Gewicht einer Plakette; ` $\bullet$ ' bezeichne ein Teilchen, ` $\circ$ ' einen leeren Platz.

Zeige:

$W\pmatrix{\bullet & \bullet \cr \bullet & \bullet \cr} = W\pmatrix{\circ & \circ \cr \circ & \circ \cr} = 1$
$W\pmatrix{\bullet & \circ \cr \bullet & \circ \cr} = W\pmatrix{\circ & \bullet \cr \circ & \bullet \cr} = \cosh(\Delta \tau t )$
$W\pmatrix{\bullet & \circ \cr \circ & \bullet \cr} = W\pmatrix{\circ & \bullet \cr \bullet & \circ \cr} = \sinh(\Delta \tau t )$
$W\pmatrix{\bullet & \bullet \cr \circ & \circ \cr} = W\pmatrix{\circ & \circ \cr \bullet & \bullet \cr} = 0 !$

Tip: Machen Sie sich klar, daß aufgrund der Teilchen-Erhaltung die Berechnung von $\exp(\Delta \tau t \pmatrix{0 & 1 \cr 1 & 0 \cr} )$ zur Lösung führt.

Konfigurationen der Schachbrett-Zerlegung können durch Weltlinien angegeben werden. Bei einem S=1/2-System sind z.B. nur zwei Spineinstellungen möglich. Verwendet man rote Linien für Spins nach oben und grüne für Spins nach unten, so ist eine Beispiels-Konfigurationen durch die Weltlinien des folgenden Bildes gegeben:

Der Grenzfall kontinuierlicher Zeit kann ausgeführt werden. Dann sind, wie im folgenden Bild illustriert, horizontale Sprünge der Weltlinien bei kontinuierlichen Werten der Zeit möglich:

Literatur:

H.G. Evertz, The Loop Algorithm, Adv. Phys. 52 (2003) 1-66
M. Troyer, F. Alet, S. Trebst, S. Wessel, Non-Local Updates for Quantum Monte Carlo Simulations, physics/0306128
M. Troyer, Computational Physics II, ETH Zürich, Sommersemester 2003

PDF-Version dieser Seite

contact Webmaster