Technische Universität Carolo-Wilhelmina zu Braunschweig

Institut für Theoretische Physik

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Letzte Aktualisierung: 2. Juni 2003 a.honecker@tu-bs.de

Partielle Differentialgleichungen

Die Schrödingergleichung ist ein Beispiel einer partiellen Differentialgleichung.

Zur Diskretisierung partieller Differentialgleichungen vergleiche z.B. Kapitel 7.2 von [1].
Zum Conjugate Gradient (CG) Verfahren vergleiche z.B. Kapitel 7.4.2 von [1].
Ein C++ Demonstrationsprogramm, das die Zeitentwicklung der Diffusionsgleichung auf einem Quadratgitter mit einem impliziten Verfahren unter Verwendung des Conjugate Gradient Verfahrens löst: cg-diff.cc (benötigt X11 und gnuplot).
Übungsaufgaben (28. April 2003):
- Implementieren Sie andere Anfangsbedingungen in dem Programm cg-diff.cc (z.B. ein Quadrat) !
- Erweitern Sie das Programm cg-diff.cc so, daß ab einem Zeitpunkt T die Zeitentwicklung umgekehrt wird ! Was passiert, wenn Sie zu t=0 rückwärts entwickeln und was, wenn Sie zu t<0 gehen ?
  Hinweis: Zur Zeitumkehr ersetzen Sie t durch -t.
- Portieren Sie cg-diff.cc in Java und ersetzen Sie die Darstellung des Zustandes mit Hilfe von gnuplot durch eine grau- oder farbkodierte pixelorientierte Darstellung !
Eine Musterlöusung für die ersten beiden Aufgaben ist in cg-diff-e.cc implementiert.
Übungsaufgabe (5. Mai 2003):
Wir betrachten die eindimensionale Wellengleichung

${\partial^2 \over \partial t^2} u(x,t) = {\partial^2 \over \partial x^2} u(x,t)$

auf dem Intervall $x\in [0,L[$ mit periodischen Randbedingungen und Anfangsbedingungen

$u(x,0) = \cases{x & $x \le L/2$ \cr (L-x) & $x \ge L/2$} {\partial \over \partial t} u(x,t)|_{t=0} = 0 .$

Lösen Sie die Zeitentwicklung mit einer impliziten Diskretisierung und dem CG-Verfahren !
Eine Beschreibung des Biconjugate Gradient (BCG) Verfahrens finden Sie z.B. in Kapitel 2.7 von [2].
Eine Gegenüberstellung der Formeln des CG und BCG Verfahrens befindet sich auf dieser PDF-Seite.
Ein C++ Demonstrationsprogramm, das die Zeitentwicklung der eindimensionalen Burgers-Gleichung mit einer impliziten Diskretisierung unter Verwendung des Biconjugate Gradient Verfahrens löst (eine explizite Diskretisierung ist zum Vergleich ebenfalls implementiert): bcg-burgers.cc (benötigt X11 und gnuplot).
Eine komplexe Implementierung des BCG Verfahrens in C++ einschließlich Demonstration: bcg-complex.cc.
Übungsaufgabe (12. Mai 2003):
Implementieren Sie die Zeitentwicklung für die eindimensionale Schrödingergleichung mit Hilfe der besprochenen Verfahren und Programme (d.h. implizierte Diskretisierung, komplexes BCG Verfahren, ...) !
Eine Diskussion direkter Lösungsverfahren für die zeitabhängige Schrödingergleichung findet man in Kapitel 10.4 von [3].
Eine Implementation in C++ unter Verwendung des Biconjugate Gradient Verfahrens: bcg-schrodinger.cc (benötigt X11 und gnuplot).
Übungsaufgaben (19. Mai 2003):
- Simulieren Sie verschiedene Konfigurationen von Schwellen mit bcg-schrodinger !
- Streuen Sie zwei Wellenpakete
  
  $\psi(x,t=0) = \psi_{1/4,k_0} + \psi_{3/4,-k_0}$
  
  mit
  
  $\psi_{x_0,k_0}(x,t=0) = C e^{-(x-x_0)^2/\sigma^2} {\rm e}^{-i k_0 x}$
  
  (kein Potential, d.h. V=0) aneinander !
Lösung der 2. Übungsaufgabe: 1 geänderte Zeile in bcg-schrodinger.cc - siehe Zeilen 277/278 in bcg-schrodinger2.cc.

Literatur:

Skript zur Vorlesung mit Übung Physik mit dem Computer im Sommersemester 2002
W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, B.P. Flannery, Numerical Recipes in C, Cambridge University Press (1992)
N. Giordano, Computational Physics, Prentice Hall (1997)

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